Matriu diagonalitzable

En àlgebra lineal, una matriu quadrada A s'anomena diagonalitzable si és semblant a una matriu diagonal, és a dir, si existeix una matriu invertible P tal que P⁻¹AP és una matriu diagonal. Si V és un espai vectorial de dimensió finita, aleshores una aplicació lineal T : V → V s'anomena diagonalitzable si existeix una base de V respecte a la qual T es pot representar per una matriu diagonal. La diagonalització és el procés de trobar una matriu diagonal per una matriu diagonalitzable o per una aplicació lineal.^[1] Una matriu quadrada que hom no pot diagonalitzar s'anomena defectiva.

Les matrius diagonalitzables i les aplicacions lineals diagonalitzables són de particular interès perquè les matrius diagonals són especialment senzilles de manipular: hom coneix immediatament els seus valors propis i vectors propis, i es pot calcular la n-èsima potència d'una matriu simplement calculant la n-sima potència de les entrades de la diagonal. Geomètricament, una matriu diagonalitzable és una dilatació heterogènia (o dilatació anisotròpica) — realitza una dilatació de l'espai, com faria una homotècia, però amb un factor diferent en cada direcció, segons els factors d'escala de les entrades de la diagonal.